Quinta    Guía y  Taller

ECUACIONES CON DOS  INCÓGNITAS

 

Es muy importante saber se necesitan dos ecuaciones para resolver una ecuación de dos incógnitas. Es por esto que siempre que te pidan resolver una ecuación con dos incógnitas te van a dar no una, sino dos ecuaciones. vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación

Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo 1

Aislamos una incógnita

Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

 Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

 Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

TALLER

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11

Método de Reducción

Consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema.

3X + Y = 11.

5X - Y = 13.

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema.

3x + y = 11.

5x - y = 13.

8x + 0 = 24.

8x=24

x=3

 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

Ejemplo 2

3x - y = 7.

2x + 3y = 12.

Si aplicamos el método de reducción en este caso ningún coeficiente de las variables se hace cero. Por lo tanto hay que multiplicar una de ellas por un número de forma tal que cuando sumemos una de ellas desaparezca. Por ejemplo la primera por 3.

3x – y = 7 .

Obtenemos

9x - 3y = 21.

Entonces obtenemos el nuevo sistema.

9x -3y = 21.

2 x +3y = 12.

11x + 0 = 33.

11x = 33.

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

TALLER

Resolver los siguientes ejercicio y los probamos

1)  

x +2y = 9

3x – y = 20

2)  

35x+21y=30

35x+7y=30

Método de igualación

consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema

3X + Y = 11.

5X - Y = 13

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita.

y= 11 - 3x.

y= -13 + 5x.

Igualamos ambas ecuaciones. 

11-3x=-13+5x.

8x=24.

x=3.

Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y.

y=11-9.

y=2.

EJERCICIO  EN FORMACIÓN

Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?

Solución:

3x+2y=280000

X+4y=360000

Despejamos la x

X+4y=360000           x=360000-4y

Sustituimos la x en la primera ecuación para encontrar   y

3x+2y=280000

3(360000-4y)+2y=280000

1.080.000-12y+2y=280000

-10y=280000-1.080.000

-10y=-800000

Y=$80.000

Encontramos el valor de x

3x+2y=280000

3x+2(80000)= 280000

3x+160000=280000

3x=280000-160000

3x=120000

X=$40.000

TALLER

Resolver los siguientes ejercicios por igualación

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11  

Resolver los ejercicios  por uno de los métodos vistos en formación

1)

En el ambiente   hay un total de 27  aprendices, habiendo el doble de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

2) 

Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta sea 21.

 

Segunda Guía y  Taller

Números reales  ℜ. 

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

Números naturales  N

Los números naturales son un conjunto de números discreto que pertenece a la recta real y puede o no incluir el número cero (0). 

En otras palabras, los números naturales son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y utilizamos para contar.  los números naturales son los números que usamos “naturalmente” para contar.

Expresión

Los números naturales se expresan con la letra:  N

Números Racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros

Y ¿qué son los números racionales? Son todos los números que se pueden representar por una fracción. Si no se puede representar con una fracción, lo llamamos número irracional. Por ejemplo:

Ejercicios

Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100
0,75	=	75
1		100
× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25
75	=	3
100		4
÷ 25

Respuesta = ¾

Ejemplo 2: Expresa 0,625 como una fracción

Paso 1: escribe

0,625

1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1,000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1,000)

625

1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

	÷ 25		÷ 5
625	=	25	=	5
1,000		40		8
	÷ 25		÷ 5

Respuesta = 5/8

Taller 

1)       Expresa 0,333 como fracción

2)  Expresa 0,97 como fracción

3)  Expresa 0,125 como fracción

4)  Expresa 4 como fracción

 Conversión de una fracción en número decimal

1)  8/4

2)  3/5

3)  1/3

Tercera  Guía y  Taller

Ecuaciones

 

Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.

Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.

Partes de una ecuación

Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.

Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).

Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.

Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:

·         constantes;

·         coeficientes;

·         variables;

·         funciones;

·         vectores.

Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.

Ejercicios de ecuaciones primer grado

1)   2x - 34 = 120

1. Se hace la transposición de términos.

2x = 120 + 34

2. Se reducen los términos semejantes.

2x = 154

3. Se despeja la incógnita.

x =154/2 = 77

2)   10x + 5 = 3x + 12

1. Se hace la transposición de términos.

10x - 3x = 12 - 5

2. Se reducen los términos semejantes.

7x = 7

3. Se despeja la incógnita.

x = 7/7 = 1

3)   2(3x - 2) = 8

1. Se suprimen los paréntesis.

6x - 4 = 8

2. Se hace la transposición de términos.

6x = 8 + 4

3. Se reducen los términos semejantes.

6x = 12

3. Se despeja la incógnita.

x = 12/6 = 2

4)   (x + 2)² - x² = 60

1. Se suprimen los paréntesis desarrollando la potencia.

x² + 4x + 4 - x² = 60

2. Se hace la transposición de términos.

x² - x² + 4x = 60 - 4

3. Se reducen los términos semejantes.

4x = 56

4. Se despeja la incógnita.

x = 56/4 = 14

                                  Taller

1) 5x+4=1-x

2) 3.(x-5)=6

3) 4(2x+1)=x+4

4) 3-x=3.(x+5)

5) 2(3x - 6 + 5x - 15) + x = - 8

6) (x + 2)² - x² = 60

Cuarta   Guía y  Taller

Modelos matemáticos con ecuaciones

Ejercicio

 

1)      Si el valor de alquilado de un auto por día es de   $100.000 y adicionalmente se paga $1.000 pesos por cada kilómetro recorrido.  Si alquilamos el auto por dos días y la cuenta por pagar  fue de  $390.000. ¿Cuántos kilómetros recorrimos?

Primer paso

Definimos la variable   X                      kilómetros recorridos

Segundo paso 

Convertir en matemáticas            

Costo por recorrido                          $1.000 precio del km . X

Costo diario                                        $100,000 por día  (2 días)

Total factura                                       $390.000                

Tercer paso                                        

Hacemos el modelo matemático y lo resolvemos

1.000 X + 2(100.000)= 390.000 

1.000 X + 200,000= 390.000 

1.000 X = 390.000  - 200.000

1.000 X = 190.000

X= 190.000/1.000

X= 190 

 

Probamos el ejercicio

1.000(190) + 2(100.000)= 390.000 

190.000+200.000=390.000 

390.000=390.000   

 

2)      Una empresa de raíces chinas y champiñones vendieron en un día  $400.000. Si se vendieron 30 bandejas de champiñón a     $4.000. Si el precio de bandeja de raíz china es de  $800 cada una. ¿Cuántas bandejas de raíz china se vendieron?

3)      Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si la suma de ambas edades es 56, ¿Qué edad tiene el hijo?

4)      Dos números consecutivos suman 79. ¿Cuáles son?

5)      Tres canastas contienen 245 manzanas. La primera canasta tiene 15 manzanas más que la segunda y 25 más que la tercera.  ¿Cuántas manzanas hay en cada canasta?

6) Verificar con el resultado de la X  probar  los dos ejercicios vistos anteriormente

 a) 3.(x-5)=6

b) 4(2x+1)=x+4