Taller

Crear una caricatura  donde explique un ejercicio dado por el Instructor.

Recomendado:

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Tercera  Guía y  Taller

Ecuaciones

 

Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.

Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.

Partes de una ecuación

Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.

Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).

Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.

Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:

·         constantes;

·         coeficientes;

·         variables;

·         funciones;

·         vectores.

Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.

Ejercicios de ecuaciones primer grado

1)   2x - 34 = 120

1. Se hace la transposición de términos.

2x = 120 + 34

2. Se reducen los términos semejantes.

2x = 154

3. Se despeja la incógnita.

x =154/2 = 77

2)   10x + 5 = 3x + 12

1. Se hace la transposición de términos.

10x - 3x = 12 - 5

2. Se reducen los términos semejantes.

7x = 7

3. Se despeja la incógnita.

x = 7/7 = 1

3)   2(3x - 2) = 8

1. Se suprimen los paréntesis.

6x - 4 = 8

2. Se hace la transposición de términos.

6x = 8 + 4

3. Se reducen los términos semejantes.

6x = 12

3. Se despeja la incógnita.

x = 12/6 = 2

                                  Taller

1) 5x+4=1-x

2) 3.(x-5)=6

3) 4(2x+1)=x+4

4) 3-x=3.(x+5)

5) 2(3x - 6 + 5x - 15) + x = - 8

Ecuaciones al cuadrado

1)   (x + 2)² - x² = 60

1. Se suprimen los paréntesis desarrollando la potencia.

x² + 4x + 4 - x² = 60

2. Se hace la transposición de términos.

x² - x² + 4x = 60 - 4

3. Se reducen los términos semejantes.

4x = 56

4. Se despeja la incógnita.

x = 56/4 = 14

Resolver y reemplazar

1)   x² - (x - 4)² = 128

2)   9(13 - x) - 4x = 5(21 - 2x) + 9x

3)   2(3x - 2) = 8

4)   2x - 34 = 120

Cuarta   Guía y  Taller

Modelos matemáticos con ecuaciones

Ejercicio

 

1)Si el valor de alquilado de un auto por día es de   $100.000 y adicionalmente se paga

 $1.000 pesos por cada kilómetro recorrido.  Si alquilamos el 

auto por dos días y la cuenta por 

pagar  fue de  $390.000. ¿Cuántos kilómetros recorrimos?

Primer paso

Definimos la variable   X                      kilómetros recorridos

Segundo paso 

Convertir en matemáticas            

Costo por recorrido                          $1.000 precio del km . X

Costo diario                                        $100,000 por día  (2 días)

Total factura                                       $390.000                

Tercer paso                                        

Hacemos el modelo matemático y lo resolvemos

1.000 X + 2(100.000)= 390.000 

1.000 X + 200,000= 390.000 

1.000 X = 390.000  - 200.000

1.000 X = 190.000

X= 190.000/1.000

X= 190 

 

Probamos el ejercicio

1.000(190) + 2(100.000)= 390.000 

190.000+200.000=390.000 

390.000=390.000   

 

2) Una empresa de raíces chinas y champiñones vendieron en

 un día  $400.000. Si se vendieron 30 bandejas de champiñón 

a     $4.000. Si el precio de bandeja de raíz china es de  $800

 cada una. ¿Cuántas bandejas de raíz china se vendieron?

3) Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si la suma de ambas edades es 56, ¿Qué edad

 tiene el hijo y el padre?

4Dos números consecutivos suman 79. ¿Cuáles son?

5)Tres canastas contienen 245 manzanas. La primera canasta

 tiene 15 manzanas más que la segunda y 25 más que la tercera. 

 ¿Cuántas manzanas hay en cada canasta?

6) Verificar con el resultado de la X  probar  los dos ejercicios

 vistos anteriormente

 

 

MODELOS MATEMÁTICOS

 

Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. ... Aunque parezca un concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de la vida cotidiana regidos por modelos matemáticos. Detrás de todas, o casi todas, las actividades que los seres humanos realizamos de manera cotidiana, existe una gran infraestructura tecnológica basada en modelos matemáticos. Podría decirse que gracias al esfuerzo de miles de matemáticos, ingenieros, físicos y otros especialistas nuestra vida se ha simplificado o al menos se ha hecho más eficiente en muchos aspectos.

Números reales  ℜ. 

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

Números naturales  N

Los números naturales son un conjunto de números discreto que pertenece a la recta real y puede o no incluir el número cero (0). 

En otras palabras, los números naturales son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y utilizamos para contar.  los números naturales son los números que usamos “naturalmente” para contar.

Expresión

Los números naturales se expresan con la letra:  N

Números Racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros

Y ¿qué son los números racionales? Son todos los números que se pueden representar por una fracción. Si no se puede representar con una fracción, lo llamamos número irracional. Por ejemplo:

Ejercicios

Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100
0,75	=	75
1		100
× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25
75	=	3
100		4
÷ 25

Respuesta = ¾

Ejemplo 2: Expresa 0,625 como una fracción

Paso 1: escribe

0,625

1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1,000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1,000)

625

1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

	÷ 25		÷ 5
625	=	25	=	5
1,000		40		8
	÷ 25		÷ 5

Respuesta = 5/8

Taller 

1)       Expresa 0,333 como fracción

2)  Expresa 0,97 como fracción

3)  Expresa 0,125 como fracción

4)  Expresa 4 como fracción

 Conversión de una fracción en número decimal

1)  8/4

2)  3/5

3)  1/3

OPERACIONES CON FRACCIONES

Como las fracciones son números, es lógico que se puedan sumar y restar. Estas operaciones son fáciles de calcular, aunque se realizan de forma distinta según si los denominadores de las fracciones son iguales o distintos.

Recordad que el numerador es el número sobre la raya de la fracción y el denominador es el que esta debajo de la raya. Por ejemplo,

Fracciones homogéneas

Suma de fracciones homogéneas

La suma de dos fracciones con el mismo denominador se calcula sumando sus numeradores. El denominador se mantiene.

 

EJEMPLO  1

Representación gráfica:

EJEMPLO  2

Resta de fracciones homogéneas

Fracciones heterogéneas

Suma de fracciones heterogéneas

Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma o resta de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma o resta de dos fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Resta de fracciones  heterogéneas

Taller 

1)      9/4 +5/4=

2)   7/3 + 2/3 + 5/3 + 8/3 =

3)  2/3+1/4 =

4)  3/4 -1/2 =

5)  2/3 - 5/6

6)  1/2 + 4/3 + 5/9 =

Segunda forma:

La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común y dividido por denominador.
3. Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).

Suma de fracciones de distinto denominador

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}}$

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene que ${\displaystyle mcm(6,9)=18\,\!}$

2. Se calculan los numeradores.

• Numerador de la primera fracción: ${\displaystyle {\frac {1\cdot 18}{6}}=3\,\!}$
• Numerador de la segunda fracción: ${\displaystyle {\frac {4\cdot 18}{9}}=8\,\!}$
• La suma se reduce a las siguientes fracciones:
  ${\displaystyle {\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}}$

3. Se suman los numeradores:

${\displaystyle {\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}={\frac {11}{18}}}$.

ejemplo 2

1/6 + 4/9 = 3/18 + 8/18 = 11/18

Taller

Ejercicios con fraccionarios

1)    En un parqueadero hay 22 autos,  7  son de marca  Daewoo ¿conqué fracción representamos los autos Daewoo en el parqueadero? 

2)   Josefa  se ha gastado  1/3 del dinero que le dieron sus abuelos comprando un libro. También se compro 1/9  comprando un vestido. ¿Qué fracción se ha gastado Josefa?

3)  Felipe compró 1 kilo de Camarones. En el almuerzo se gastó  3/4 del kilo. ¿Qué cantidad de camarones le quedaron para otro almuerzo?

4) Resolver:    7/8+3/10  de las dos formas

5) Resolver     -5/4-2/3    de las dos formas