MODELOS MATEMÁTICOS

 

Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. ... Aunque parezca un concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de la vida cotidiana regidos por modelos matemáticos. Detrás de todas, o casi todas, las actividades que los seres humanos realizamos de manera cotidiana, existe una gran infraestructura tecnológica basada en modelos matemáticos. Podría decirse que gracias al esfuerzo de miles de matemáticos, ingenieros, físicos y otros especialistas nuestra vida se ha simplificado o al menos se ha hecho más eficiente en muchos aspectos.

Números reales  ℜ. 

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

Números naturales  N

Los números naturales son un conjunto de números discreto que pertenece a la recta real y puede o no incluir el número cero (0). 

En otras palabras, los números naturales son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y utilizamos para contar.  los números naturales son los números que usamos “naturalmente” para contar.

Expresión

Los números naturales se expresan con la letra:  N

Números Racionales

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros

Y ¿qué son los números racionales? Son todos los números que se pueden representar por una fracción. Si no se puede representar con una fracción, lo llamamos número irracional. Por ejemplo:

Ejercicios

Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100
0,75	=	75
1		100
× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25
75	=	3
100		4
÷ 25

Respuesta = ¾

Ejemplo 2: Expresa 0,625 como una fracción

Paso 1: escribe

0,625

1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1,000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1,000)

625

1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

	÷ 25		÷ 5
625	=	25	=	5
1,000		40		8
	÷ 25		÷ 5

Respuesta = 5/8

Taller 

1)       Expresa 0,333 como fracción

2)  Expresa 0,97 como fracción

3)  Expresa 0,125 como fracción

4)  Expresa 4 como fracción

 Conversión de una fracción en número decimal

1)  8/4

2)  3/5

3)  1/3

OPERACIONES CON FRACCIONES

Como las fracciones son números, es lógico que se puedan sumar y restar. Estas operaciones son fáciles de calcular, aunque se realizan de forma distinta según si los denominadores de las fracciones son iguales o distintos.

Recordad que el numerador es el número sobre la raya de la fracción y el denominador es el que esta debajo de la raya. Por ejemplo,

Fracciones homogéneas

Suma de fracciones homogéneas

La suma de dos fracciones con el mismo denominador se calcula sumando sus numeradores. El denominador se mantiene.

 

EJEMPLO  1

Representación gráfica:

EJEMPLO  2

Resta de fracciones homogéneas

Fracciones heterogéneas

Suma de fracciones heterogéneas

Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma o resta de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma o resta de dos fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Resta de fracciones  heterogéneas

Taller 

1)      9/4 +5/4=

2)   7/3 + 2/3 + 5/3 + 8/3 =

3)  2/3+1/4 =

4)  3/4 -1/2 =

5)  2/3 - 5/6

6)  1/2 + 4/3 + 5/9 =

Segunda forma:

La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común y dividido por denominador.
3. Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).

Suma de fracciones de distinto denominador

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}}$

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene que ${\displaystyle mcm(6,9)=18\,\!}$

2. Se calculan los numeradores.

• Numerador de la primera fracción: ${\displaystyle {\frac {1\cdot 18}{6}}=3\,\!}$
• Numerador de la segunda fracción: ${\displaystyle {\frac {4\cdot 18}{9}}=8\,\!}$
• La suma se reduce a las siguientes fracciones:
  ${\displaystyle {\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}}$

3. Se suman los numeradores:

${\displaystyle {\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}={\frac {11}{18}}}$.

ejemplo 2

1/6 + 4/9 = 3/18 + 8/18 = 11/18

Taller

Ejercicios con fraccionarios

1)    En un parqueadero hay 22 autos,  7  son de marca  Daewoo ¿conqué fracción representamos los autos Daewoo en el parqueadero? 

2)   Josefa  se ha gastado  1/3 del dinero que le dieron sus abuelos comprando un libro. También se compro 1/9  comprando un vestido. ¿Qué fracción se ha gastado Josefa?

3)  Felipe compró 1 kilo de Camarones. En el almuerzo se gastó  3/4 del kilo. ¿Qué cantidad de camarones le quedaron para otro almuerzo?

4) Resolver:    7/8+3/10  de las dos formas

5) Resolver     -5/4-2/3    de las dos formas

 

Séptima     Guía y  Taller

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

Las ecuaciones cuadráticas se utilizan para calcular el área de figuras geométricas como rectángulos, círculos y triángulos. Los carpinteros y otros profesionales utilizan ecuaciones cuadráticas para optimizar el área de un espacio con perímetro o dimensiones determinadas.

Las ecuaciones cuadráticas no sólo sirven para las matemáticas, si no también tienen una variedad de aplicaciones en la física, la ingeniería y el diseño, dependiendo de la carrera que uno elija.

Fórmula

Ejemplo:

 

1 Identificamos los valores de a, b y c 

 

2 Sustituimos en la fórmula general y resolvemos 

 

 

 

 

 

3La ecuación tiene solamente una solución real 

 

TALLER

1)      x² – 4x + 4 = 0

2)     2x-3=1-2x+x²

3)    3(x² + 1) =  5(1 - x)

Ejercicio

Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata cortando, cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados

hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene

280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata.

 

Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es

(x + 3) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Véase la figura 1). El volumen de la caja

está dado por

 

(Largo)(Ancho)(Altura) = (x + 3)(x)(4) = 4x(x + 3)

Pero la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, de modo que

4x(x + 3) = 280

 Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos

x(x +3) =70

x2 + 3x – 70 =  0 

Comparando esto con la fórmula cuadrática ax² + bx + c = 0 tenemos a =1, b =

3, c =  -70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (x) están dadas por

Pero x =  - 10 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho

no puede ser un número negativo. Así x = 7.

Resolver por fórmula cuadrática

1)   Carlos es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60,

¿Cuál es la edad de Bobby?

Octava      Guía y  Taller

Es de gran importancia practicar problemas y ejercicios de administración y ejercicios de economía.

Conceptos:

Q=Número de unidades que debe vender

U=IT-CT

U=Utilidad

IT=Ingreso total

CT Costo total

IT=Precio de venta x   unidades vendidas

I

Cuando los ingresos provienen de la venta de un bien particular, también tenemos

la ecuación general

Ingreso = (Precio de venta por unidad) * (Número de unidades vendidas)

Los costos variables, también conocidos como coste variable, son aquellos costos que varían de acuerdo con la producción que se desarrolla en una empresa u organización, es decir, con la cantidad de bienes o servicios que se estén produciendo.

los costos variables varían según la cantidad de unidades producidas.

Podemos establecer que el beneficio total de una empresa se determina por la diferencia entre sus ingresos totales y sus costos totales, donde los costos totales se calculan sumando los costos variables y los costos fijos.

PROBLEMA 

Una compañía fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000.

Solución:

https://www.youtube.com/watch?v=KYoxy_DO0oo

Resolver:

1)

Una empresa dedicada a la comercialización de camisas,

 vende camisas a un precio de $40.000, el costo de cada 

camisa es de $24.000, se paga una comisión de ventas 

por $2.000, y sus gastos fijos (alquiler, salarios, 

servicios, etc.), ascienden a $3. 500.000 ¿Cuál es el punto

 de equilibrio en unidades de venta y en Pesos? y ¿a 

cuánto ascenderían las utilidades si se vendieran 800 

camisas?

2)

Una pequeña industria, produce maletines con un costo de producción por unidad de $ 9.000 y los vende al por mayor a $15.000, por su local paga la suma de $1.500.000 más otros gastos fijos de $ 4,200.000 mensuales. Determinar cuántos maletines tiene que producir y vender mensualmente para no ganar ni perder.