Quinta    Guía y  Taller

ECUACIONES CON DOS  INCÓGNITAS

 

Es muy importante saber se necesitan dos ecuaciones para resolver una ecuación de dos incógnitas. Es por esto que siempre que te pidan resolver una ecuación con dos incógnitas te van a dar no una, sino dos ecuaciones. vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación

Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo 1

Aislamos una incógnita

Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

 Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

 Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

TALLER

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11

Método de Reducción

Consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema.

3X + Y = 11.

5X - Y = 13.

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema.

3x + y = 11.

5x - y = 13.

8x + 0 = 24.

8x=24

x=3

 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

Ejemplo 2

3x - y = 7.

2x + 3y = 12.

Si aplicamos el método de reducción en este caso ningún coeficiente de las variables se hace cero. Por lo tanto hay que multiplicar una de ellas por un número de forma tal que cuando sumemos una de ellas desaparezca. Por ejemplo la primera por 3.

3x – y = 7 .

Obtenemos

9x - 3y = 21.

Entonces obtenemos el nuevo sistema.

9x -3y = 21.

2 x +3y = 12.

11x + 0 = 33.

11x = 33.

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

TALLER

Resolver los siguientes ejercicio y los probamos

1)  

x +2y = 9

3x – y = 20

2)  

35x+21y=30

35x+7y=30

Método de igualación

consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema

3X + Y = 11.

5X - Y = 13

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita.

y= 11 - 3x.

y= -13 + 5x.

Igualamos ambas ecuaciones. 

11-3x=-13+5x.

8x=24.

x=3.

Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y.

y=11-9.

y=2.

EJERCICIO  EN FORMACIÓN

Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?

Solución:

3x+2y=280000

X+4y=360000

Despejamos la x

X+4y=360000           x=360000-4y

Sustituimos la x en la primera ecuación para encontrar   y

3x+2y=280000

3(360000-4y)+2y=280000

1.080.000-12y+2y=280000

-10y=280000-1.080.000

-10y=-800000

Y=$80.000

Encontramos el valor de x

3x+2y=280000

3x+2(80000)= 280000

3x+160000=280000

3x=280000-160000

3x=120000

X=$40.000

TALLER

Resolver los siguientes ejercicios por igualación

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11  

4) Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?  Lo resolvernos  por igualación

Resolver los ejercicios  por Igualación  Sustitución y Reducción.

Exponer.

1)  

En el ambiente   hay un total de 27  aprendices, habiendo el doble de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

2) 

Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta sea 21.

 

3) 

En el cine, el boleto de entrada para adulto es de $20.000 y de niño a $15.000. En un día se vendieron   1200; ¿Cuántas boletas de adulto y cuantas de niño se vendieron si se sabe que por cada 2 niños había un adulto? ¿Cuánto dinero se recolectó al final del día por las boletas?

4)  

Miguel es mayor que su hermana María. Dentro de 3 años, la edad de María será la edad que tiene ahora Miguel y, dentro de 10 años, la edad de Miguel será el doble de la edad que tiene María. ¿Qué edades tienen los hermanos?

5) 

Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?    Por los tres métodos

6) 

En la nevera tenemos botellas de agua de 2L y de 3L. Si las 8 botellas que tenemos suponen un total de 19L, ¿cuántas botellas tenemos de cada tamaño?