AVALUACIÓN FINAL

Resolver por fórmula cuadrática

1)   Carlos es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60,

¿Cuál es la edad de Bobby?

Edad Bobby  5 años

Resolver por cualquier método

Es de gran importancia practicar problemas y ejercicios de administración y ejercicios de economía.

Conceptos:

Q=Número de unidades que debe vender

U=IT-CT

U=Utilidad

IT=Ingreso total

CT Costo total

IT=Precio de venta x   unidades vendidas

Cuando los ingresos provienen de la venta de un bien particular, también tenemos

la ecuación general

Ingreso = (Precio de venta por unidad) * (Número de unidades vendidas)

Los costos variables, también conocidos como coste variable, son aquellos costos que varían de acuerdo con la producción que se desarrolla en una empresa u organización, es decir, con la cantidad de bienes o servicios que se estén produciendo.

los costos variables varían según la cantidad de unidades producidas.

Podemos establecer que el beneficio total de una empresa se determina por la diferencia entre sus ingresos totales y sus costos totales, donde los costos totales se calculan sumando los costos variables y los costos fijos.

PROBLEMA 

2) Una compañía fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000.

Solución:

https://www.youtube.com/watch?v=KYoxy_DO0oo

3)

Una empresa dedicada a la comercialización de camisas,

 vende camisas a un precio de $40.000, el costo de cada 

camisa es de $24.000, se paga una comisión de ventas 

por $2.000, y sus gastos fijos (alquiler, salarios, 

servicios, etc.), ascienden a $3. 500.000 ¿Cuál es el punto

 de equilibrio en unidades de venta y en Pesos? y ¿a 

cuánto ascenderían las utilidades si se vendieran 800 

camisas?

R/ 250 CAMISAS

4)

Una pequeña industria, produce maletines con un costo de producción por unidad de $ 9.000 y los vende al por mayor a $15.000, por su local paga la suma de $1.500.000 más otros gastos fijos de $ 4,200.000 mensuales. Determinar cuántos maletines tiene que producir y vender mensualmente para no ganar ni perder.

 R/ 950 Maletines

 

Séptimo       Taller y Guía 

FACTORIZACIÓN

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. 

La factorización es un método a través del cual un polinomio se expresa en forma de multiplicación de factores, que pueden ser números, letras o ambos. Para factorizar se agrupan los factores que son comunes a los términos, y de esa forma se va descomponiendo el polinomio en varios polinomios.

Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes. En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros).

ejemplo:

4x + 5y + 2xy + 2y +2

Factor

se conoce como factor cada una de las cantidades o expresiones que pueden multiplicarse para formar un producto.

Los Factores son los números que se multiplican para obtener otro número:

Ejemplo: 3 y 4 son factores de 12, porque 3x4=12.

También 2x6=12 por lo tanto 2 y 6 también son factores de 12, y

 1x12=12 luego 1 y 12 son factores de 12 igualmente.

Así que TODOS los posibles factores de 12 son 1,2,3,4,6 y 12.

2.3=6

4.3=12

5.3=15

El 3 es factor de todos

Ejemplos de factorización

2x= 2 . x

4x² = 2 . 2 . X . X

6X³=2 .3 . X. X. X

Ejemplos

x²−9         Diferencia de cuadrados

x²−9=(x−3)(x+3)​    un factor común

2x – x²  = x (2 - x) un factor común

x²+7x+12=  (x+3)(x+4)​     suma-producto

6x²+3x = 3x(2x+1)​     factor común

Ejercicios con suma de producto

x²+bx+c=0

Sacar la raíz cuadrada de x

Sumar dos números

Multiplicar dos números

Ejemplo

x²+6x+8=0

(X+4) (X+2)

Ahora  hay que igualar a 0

X+4=0                      (X+2)        

X=-4                           X=-2

Reemplazamos con la ecuación original

x²+6x+8=0           X=-4 

16+6(-4)+8=0

16-24+8=0

            0=0

x²+6x+8=0           X=-2

4-12+8=0

         0=0

 

TALLER

Factorice por completo las siguientes expresiones

 

¹⁾                6x³y²

²⁾                5³

³⁾                   a²-b²

⁴⁾             x² − 10x+25=0

⁵⁾             x² − 2x - 48=0

⁶⁾              x² − x - 30=0  

⁷⁾    x2 + 7x  + 12  

⁸⁾   Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene él?

 

Sexta      Guía y  Taller

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

Las ecuaciones cuadráticas se utilizan para calcular el área de figuras geométricas como rectángulos, círculos y triángulos. Los carpinteros y otros profesionales utilizan ecuaciones cuadráticas para optimizar el área de un espacio con perímetro o dimensiones determinadas.

Las ecuaciones cuadráticas no sólo sirven para las matemáticas, si no también tienen una variedad de aplicaciones en la física, la ingeniería y el diseño, dependiendo de la carrera que uno elija.

Video ecuación cuadrática en la vida:

 

https://www.youtube.com/watch?v=rLsyYSxjNfU

 

https://www.youtube.com/watch?v=ky0sv0zGuys

ax2 + bx + c = 0

Hay que saber el valor de:    a, b y c

4x² + 3x + 12 = 0     a=4, b=3, c=12

6x² – 5x = 0            a=6, b=-5, c=0

Fórmula

Ejemplo:

 

1 Identificamos los valores de a, b y c 

 

2 Sustituimos en la fórmula general y resolvemos 

 

 

 

 

 

3La ecuación tiene solamente una solución real 

 

TALLER

1)      x² – 4x + 4 = 0

2)     2x-3=1-2x+x²

3)    3(x² + 1) =  5(1 - x)

Ejercicio

Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata cortando, cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados

hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene

280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata.

 

Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es

(x + 3) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Véase la figura 1). El volumen de la caja

está dado por

 

(Largo)(Ancho)(Altura) = (x + 3)(x)(4) = 4x(x + 3)

Pero la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, de modo que

4x(x + 3) = 280

 Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos

x(x +3) =70

x2 + 3x – 70 =  0 

Comparando esto con la fórmula cuadrática ax² + bx + c = 0 tenemos a =1, b =

3, c =  -70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (x) están dadas por

Pero x =  - 10 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho

no puede ser un número negativo. Así x = 7.

Resolver por fórmula cuadrática

1)   Carlos es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60,

¿Cuál es la edad de Bobby?

 

Quinta    Guía y  Taller

ECUACIONES CON DOS  INCÓGNITAS

 

Es muy importante saber se necesitan dos ecuaciones para resolver una ecuación de dos incógnitas. Es por esto que siempre que te pidan resolver una ecuación con dos incógnitas te van a dar no una, sino dos ecuaciones. vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación

Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo 1

Aislamos una incógnita

Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

 Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

 Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

TALLER

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11

Método de Reducción

Consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema.

3X + Y = 11.

5X - Y = 13.

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema.

3x + y = 11.

5x - y = 13.

8x + 0 = 24.

8x=24

x=3

 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

Ejemplo 2

3x - y = 7.

2x + 3y = 12.

Si aplicamos el método de reducción en este caso ningún coeficiente de las variables se hace cero. Por lo tanto hay que multiplicar una de ellas por un número de forma tal que cuando sumemos una de ellas desaparezca. Por ejemplo la primera por 3.

3x – y = 7 .

Obtenemos

9x - 3y = 21.

Entonces obtenemos el nuevo sistema.

9x -3y = 21.

2 x +3y = 12.

11x + 0 = 33.

11x = 33.

x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos.

y=2

TALLER

Resolver los siguientes ejercicio y los probamos

1)  

x +2y = 9

3x – y = 20

2)  

35x+21y=30

35x+7y=30

Método de igualación

consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

Ejercicios

Sea el sistema

3X + Y = 11.

5X - Y = 13

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita.

y= 11 - 3x.

y= -13 + 5x.

Igualamos ambas ecuaciones. 

11-3x=-13+5x.

8x=24.

x=3.

Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de y.

y=11-9.

y=2.

EJERCICIO  EN FORMACIÓN

Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?

Solución:

3x+2y=280000

X+4y=360000

Despejamos la x

X+4y=360000           x=360000-4y

Sustituimos la x en la primera ecuación para encontrar   y

3x+2y=280000

3(360000-4y)+2y=280000

1.080.000-12y+2y=280000

-10y=280000-1.080.000

-10y=-800000

Y=$80.000

Encontramos el valor de x

3x+2y=280000

3x+2(80000)= 280000

3x+160000=280000

3x=280000-160000

3x=120000

X=$40.000

TALLER

Resolver los siguientes ejercicios por igualación

1)  

3x + y = 11

5x – y = 13

2)

3x+2y=220

x+3y=120

3)

2x+y=7

x+3y=11  

4) Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?  Lo resolvernos  por igualación

Resolver los ejercicios  por Igualación  Sustitución y Reducción.

Exponer.

1)  

En el ambiente   hay un total de 27  aprendices, habiendo el doble de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

2) 

Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta sea 21.

 

3) 

En el cine, el boleto de entrada para adulto es de $20.000 y de niño a $15.000. En un día se vendieron   1200; ¿Cuántas boletas de adulto y cuantas de niño se vendieron si se sabe que por cada 2 niños había un adulto? ¿Cuánto dinero se recolectó al final del día por las boletas?

4)  

Miguel es mayor que su hermana María. Dentro de 3 años, la edad de María será la edad que tiene ahora Miguel y, dentro de 10 años, la edad de Miguel será el doble de la edad que tiene María. ¿Qué edades tienen los hermanos?

5) 

Comprar 3 boletas de fútbol   y 2 boletas al teatro valen   $ 280.000. Si compra 1 boleta para fútbol y 4 para el teatro cuentan  $360.000 ¿Cuánto cuesta cada boleta de fútbol y de teatro?    Por los tres métodos

6) 

En la nevera tenemos botellas de agua de 2L y de 3L. Si las 8 botellas que tenemos suponen un total de 19L, ¿cuántas botellas tenemos de cada tamaño?